Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Теперь можем, наконец, вернуться к теореме 3. Пусть имеет место равенство (15), причем радиус сходимости R ряда, стоящего в правой части (15), положителен, R > 0. Дифференцируя этот ряд почленно, приходим к ряду (26), имеющему тот же радиус сходимости R. Обозначим сумму этого ряда через φ(x). По теореме 1 это есть функция, непрерывная в (-R, +R). Закрепим какую-либо точку z этого интервала и рассмотрим замкнутый промежуток* [0, z].

     Этот промежуток содержится в (-R, +R) и (на основании теоремы 2) можно почленно проинтегрировать равенство

φ(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + ...

по промежутку [0, z]. Таким образом,

     Сравнивая это равенство с (15), находим

     По теореме о дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу правая часть последнего равенства имеет производную, равную φ(z). Но тогда ту же производную имеет и его левая часть. Стало быть, f'(z) существует и f'(z) = φ(z). Заменяя букву z на x и вспоминая, что φ(x) есть сумма ряда (26), завершаем доказательство.

     Так как мы можем применить доказанную теорему и к продифференцированному ряду, а затем снова применить ее же и т. д., то справедлива

     Теорема 4. Степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его промежутка сходимости любое число раз.

     Эту же теорему можно формулировать и так: если ряд, стоящий в равенстве

f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ...,

имеет радиус сходимости R > 0, то f(x) имеет производные всех порядков, причем для всех будет

и все написанные здесь ряды имеют тот же радиус сходимости R.


решения некоторых задач


   _____________________________________________________

*   Считаем z > 0. Если z < 0, то надо ввести промежуток [z, 0], а в остальном все рассуждения сохраняются, т. к. при перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, стереометрия , интегральная функция

     Степенные ряды. Теорема 4: степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его промежутка сходимости любое число раз.