Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды Рассмотрим какую-либо функцию f(x), заданную в промежутке [A, B], и пусть a - некоторая точка этого промежутка. Поставим вопрос о возможности представления f(x) степенным рядом, расположенным по степеням разности x - a. Чтобы не усложнять дела, будем предполагать точку a внутренней* точкой [A, B], т. е. считать A < a < B. Допустим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству a - r < x < a + r, где r > 0, упомянутое представление возможно, т. е. что для всех этих x будет f(x) = c0 + c1(x - a) + c2(x - a)2 + c3(x - a)3 + ... (63) Само собой разумеется, что весь промежуток (a - r, a + r) считаем содержащимся как в [A, B], так и в промежутке сходимости написанного здесь ряда (так что радиус сходимости R этого ряда не меньше, чем r). Полагая в (63) x = a, находим: c0 = f(a). (64) Так как, далее, внутри промежутка сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, то для всех x из (a - r, a + r) должна существовать производная f'(x) и выполняться равенство f'(x) = c1 + 2c2(x - a) + 3c3(x - a)2 + ..., (65) откуда, полагая x = a, находим: c1 = f'(a). Применяя те же соображения к ряду (65), убеждаемся в существовании f"(x) и равенстве
откуда
Продолжая эти рассуждения, приходим к следующему выводу: Теорема 1. Если функция f(x) в некотором промежутке (a - r, a + r) представляется степенным рядом, расположенным по степеням x - a, то эта функция имеет в упомянутом промежутке производные всех порядков, а само разложение обязательно таково:
Написанный здесь ряд называется рядом Тейлора функции f(x). Поэтому доказанная теорема означает, что если функция разлагается в степенной ряд, то это - обязательно ее ряд Тейлора. _____________________________________________________ * В случае a = A (или a = B) никаких принципиальных изменений в нижеприводимых рассуждениях не потребовалось бы, но пришлось бы немного изменить их редакцию. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
(66)