Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





Подать документы на проведение негосударственной экспертизы www.omskptb.ru.
     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды

     Рассмотрим какую-либо функцию f(x), заданную в промежутке [A, B], и пусть a - некоторая точка этого промежутка. Поставим вопрос о возможности представления f(x) степенным рядом, расположенным по степеням разности x - a.

     Чтобы не усложнять дела, будем предполагать точку a внутренней* точкой [A, B], т. е. считать A < a < B. Допустим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству a - r < x < a + r, где r > 0, упомянутое представление возможно, т. е. что для всех этих x будет

f(x) = c0 + c1(x - a) + c2(x - a)2 + c3(x - a)3 + ...     (63)

     Само собой разумеется, что весь промежуток (a - r, a + r) считаем содержащимся как в [A, B], так и в промежутке сходимости написанного здесь ряда (так что радиус сходимости R этого ряда не меньше, чем r).

     Полагая в (63) x = a, находим:

c0 = f(a).     (64)

     Так как, далее, внутри промежутка сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, то для всех x из (a - r, a + r) должна существовать производная f'(x) и выполняться равенство

f'(x) = c1 + 2c2(x - a) + 3c3(x - a)2 + ...,     (65)

откуда, полагая x = a, находим:

c1 = f'(a).

     Применяя те же соображения к ряду (65), убеждаемся в существовании f"(x) и равенстве

откуда

     Продолжая эти рассуждения, приходим к следующему выводу:

     Теорема 1. Если функция f(x) в некотором промежутке (a - r, a + r) представляется степенным рядом, расположенным по степеням x - a, то эта функция имеет в упомянутом промежутке производные всех порядков, а само разложение обязательно таково:

     (66)

     Написанный здесь ряд называется рядом Тейлора функции f(x). Поэтому доказанная теорема означает, что если функция разлагается в степенной ряд, то это - обязательно ее ряд Тейлора.


решения некоторых задач


   _____________________________________________________

*   В случае a = A (или a = B) никаких принципиальных изменений в нижеприводимых рассуждениях не потребовалось бы, но пришлось бы немного изменить их редакцию.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, интегралы , интегрирование изображения

     Степенные ряды.