Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Правая часть этого неравенства с возрастанием n стремится к нулю. Значит,
Остается заметить, что
так что этот интеграл есть не что иное, как частичная сумма ряда, стоящего в (16) справа. Теорема 3. Равенство (15) можно почленно дифференцировать внутри промежутка сходимости ряда (9). Иначе говоря, сумма f(x) ряда (9) в каждой точке x из открытого промежутка ( -R, +R) имеет производную f'(x), и справедливо равенство f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3 + ... Доказательство этой теоремы сравнительно сложно, и мы предпошлем ему две леммы. Лемма 1. Если 0 < q < 1, то ряд q + 2q2 + 3q3 + 4q4 + ... (17) сходится. Эта лемма устанавливается с помощью признака Даламбера: здесь an = nqn, an+1 = (n + 1)qn+1,
Лемма 2. Степенные ряды c1x + c2x2 + c3x3 + ..., (18) c1x + 2c2x2 + 3c3x3 + ... (19) имеют равные радиусы сходимости. Обозначим упомянутые радиусы сходимости рядов (18) и (19) соответственно через R и R'. Предположим, что R' > 0 и пусть 0 < z < R'. Тогда в точке z ряд (19) сходится абсолютно. Иначе говоря, сходится положительный ряд | c1|z + 2| c2|z2 + 3| c3|z3 + ... Тем более сходится ряд | c1|z + | c2|z2 + | c3|z3 + ... -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
