Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Правая часть этого неравенства с возрастанием n стремится к нулю. Значит,

     Остается заметить, что

так что этот интеграл есть не что иное, как частичная сумма ряда, стоящего в (16) справа.

     Теорема 3. Равенство (15) можно почленно дифференцировать внутри промежутка сходимости ряда (9).

     Иначе говоря, сумма f(x) ряда (9) в каждой точке x из открытого промежутка ( -R, +R) имеет производную f'(x), и справедливо равенство

f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3 + ...

     Доказательство этой теоремы сравнительно сложно, и мы предпошлем ему две леммы.

     Лемма 1. Если 0 < q < 1, то ряд

q + 2q2 + 3q3 + 4q4 + ...     (17)

сходится.

     Эта лемма устанавливается с помощью признака Даламбера: здесь

an = nqn,     an+1 = (n + 1)qn+1,

     Лемма 2. Степенные ряды

c1x + c2x2 + c3x3 + ...,     (18)

c1x + 2c2x2 + 3c3x3 + ...     (19)

имеют равные радиусы сходимости.

     Обозначим упомянутые радиусы сходимости рядов (18) и (19) соответственно через R и R'.

     Предположим, что R' > 0 и пусть 0 < z < R'. Тогда в точке z ряд (19) сходится абсолютно. Иначе говоря, сходится положительный ряд

| c1|z + 2| c2|z2 + 3| c3|z3 + ...

Тем более сходится ряд

| c1|z + | c2|z2 + | c3|z3 + ...


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2018  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, ромб , котангенс гиперболический

     Степенные ряды. Теорема 3: Равенство f(x) = c0 + c1*x + c2*x*x + c3*x*x*x + ... можно почленно дифференцировать внутри промежутка сходимости ряда.