Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Эта точка тоже содержится в открытом интервале (-R, +R), и потому наш ряд (9) абсолютно сходится в ней. Иными словами, сходится ряд

| c0 | + | c1 | X + | c2 | X2 + | c3 | X3 + ...     (10)

     Теперь возьмем совершенно произвольную точку x из промежутка [-X, X] (в частности, это может быть и точка x0) и составим ряд

c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ...     (11)

     Пусть и Rn(x) суть суммы остатков (после n-го члена) рядов (10) и (11), т. е.

     Нетрудно видеть*, что

     (12)

     Заметив это, возьмем произвольное ε > 0 и найдем столь большое n, чтобы оказалось

Такое n существует, т. к. сумма остатка сходящегося ряда (10) стремится к нулю.

     В силу (12) при этом n и при всех x из [-X, X] окажется

В частности, и . Положим, далее

Sn(x) = c0 + c1x + ... + cnxn.

Тогда

f(x) = Sn(x) + Rn(x),     f(x0) = Sn(x0) + Rn(x0).

Значит,

|f(x) - f(x0)| ≤ |Sn(x) - Sn(x0)| + |Rn(x)| + |Rn(x0)|,

и тем более

     (13)

Еще раз подчеркнем, что это неравенство доказано для всех x из [-X, X].


решения некоторых задач

   _____________________________________________________

*   Можно доказать, что в случае сходимости ряда в одной из точек ±R функция f(x) остается непрерывной в этой точке, но здесь не будем останавливаться на этом.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2018  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, экспонента , косинус половинного аргумента

     Доказательство теоремы: функция f(x) непрерывна во всех точках, лежащих внутри промежутка сходимости ряда.