Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Биномиальный ряд

     Знаменитая формула, изучаемая в школе под названием "бинома Ньютона", фактически была известна еще задолго до Ньютона. Ньютону же принадлежит заслуга ее распространения на случай не натуральных показателей.

     Поставим вопрос о разложении функции

f(x) = (1 + x) μ

в ряд, расположенный по степеням x. Здесь

f '(x) = μ(1 + x) μ-1,   f "(x) = μ(μ - 1)(1 + x) μ-2,

f ″′(x) = μ(μ - 1)(μ - 2)(1 + x) μ-3

и вообще

f (n)(x) = μ(μ - 1) ... (μ - n + 1)(1 + x) μ-n,

что можно подтвердить с помощью полной индукции.

     Таким образом,

f(0) = 1,   f '(0) = μ,   f "(0) = μ(μ - 1),   ...

...,   f (n)(0) = μ(μ - 1) ... (μ - n + 1),   ...

и ряд Тейлора нашей функции таков:

     (71)

     Этот ряд называется биноминальным. Если μ = 0, 1, 2, то ряд (71) принимает соответственно вид

1,   1 + x,   1 + 2x + x2,

т. е. превращается в конечный многочлен. Нетрудно видеть, что это явление имеет место всегда, когда μ - целое неотрицательное число. Для таких значений μ равенство функции (1 + x) μ и суммы ее ряда Тейлора, т. е. равенство

справедливо при всех действительных (и даже комплексных!) x, что и составляет содержание элементарной теоремы о биноме Ньютона.

     Если μ не есть целое неотрицательное число, то ряд (71) существенно бесконечен, и прежде всего встает вопрос о его промежутке сходимости.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, арктангенс , инъективное отображение

     Степенные ряды.