Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Формула (54) представляет несомненный теоретический интерес, т. к. дает очень простое выражение числа π через натуральные числа (значительно более простое, чем формула Валлиса). Однако в качестве средства вычисления π этот ряд практически непригоден из-за его чрезвычайно медленной сходимости*.

     Более удобное разложение π получим, если в основной формуле (53) положим . Это приводит к равенству

откуда

     (58)

     Если ограничиться выписанными членами, то согласно замечаниям, сделанным в пункте "Знакочередующиеся ряды" к теореме Лейбница, ошибка будет положительна и меньше первого отброшенного члена, т. е. меньше, чем

так что ряд (58) дает уже и практически приемлемое средство вычисления π. Тем не менее, для получения π с большой точностью и ряд (58) мало удобен. Для этой цели приходится [исходя из той же формулы (53)] применять некоторые искусственные приемы. Остановимся на одном из них.

     Введем в рассмотрение величину

и пусть

Тогда

     (59)

     Покажем, что, пользуясь формулой (53), можем вычислить величины 16α и 4β. В самом деле, полагая в (53) и умножая на 16, получим:

     Если ограничиться выписанными членами, то согласно замечаниям к теореме Лейбница ошибка Δ' будет удовлетворять неравенству

     Складывая положительные члены, находим:

Ошибка этого числа лежит между и .


решения некоторых задач


   _____________________________________________________

*   Чтобы получить π с двумя верными знаками после запятой, надо сложить пятьдесят (!) членов ряда (54).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, предикаты , координаты центра масс системы материальных точек

     Степенные ряды.