Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Применим для решения этого вопроса признак Даламбера. У нас

     Стало быть,

и

     Поэтому радиус сходимости ряда (71) есть 1. Мы не будем исследовать поведение ряда на концах ±1 промежутка сходимости*, а ограничимся изучением его суммы в открытом промежутке (-1; +1).

     Выше уже указывалось, что бывают случаи, когда ряд Тейлора некоторой функции сходится, но его сумма не совпадает с этой функцией. Поэтому из того обстоятельства, что ряд (71) сходится в (-1; +1), еще не следует, что сумма его равна функции (1 + x) μ. Доказать этот факт на основании теоремы 2 нельзя, так как условия этой теоремы здесь оказываются не выполненными. Можно было бы доказать его, пользуясь другими выражениями остаточного члена формулы Тейлора. Поскольку этих выражений мы не выводили, то и этот путь оказывается для нас закрытым. В то же время упомянутый факт весьма важен. Поэтому все же докажем его, хотя и несколько искусственным способом.

     Обозначим сумму ряда (71) через S(x). Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать, то при всех x из (-1, +1) будет

откуда

     (72)

     Умножим равенство (72) на x и сложим полученное равенство с (72). В результате окажется

откуда


решения некоторых задач


   _____________________________________________________

*   Сходимость или расходимость ряда (71) в точках ±1 зависит от значения μ.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, эпициклоида , иррациональные выражения

     Степенные ряды.