Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
решения некоторых задач
Изображение функции в виде суммы степенного ряда может быть полезно в разных отношениях. Прежде всего оно дает возможность фактического вычисления этой функции, т. к. частичные суммы ряда, будучи обыкновенными алгебраическими многочленами, вычисляются без труда, и в то же время эти суммы становятся сколь угодно близкими к изображаемой функции при достаточном увеличении числа взятых членов. Кроме того, представление функции степенным рядом часто позволяет устанавливать различные свойства этой функции. Так, например, из формул (3) и (4) получаем:
sin(-x) = -sin x, cos(-x) = cos x,
т. е. что sin x есть функция нечетная, а cos x - четная. Мы надеемся, что изложенные здесь соображения достаточно объясняют тот большой интерес, который привлекает к себе теория степенных рядов. Ниже важность этой теории (и, в частности, ее важность для нужд элементарной математики) будет выявлена более обстоятельно.
По отношению к степенному ряду (как и вообще ко всякому ряду, члены которого зависят от x) бессмысленно ставить вопрос, сходится он или расходится, т. к. один и тот же ряд при одних значениях x может сходиться, а при других - расходиться. Например, ряд
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...,
очевидно, сходится при x = 0 и расходится при x = 1.
Разумная постановка вопроса должна быть такова: при каких x сходится ряд (1) и при каких он расходится? Оказывается, что множество тех x, при которых сходится степенной ряд (1), всегда имеет очень простое строение: это - промежуток, симметричный относительно точки x = 0. Докажем этот замечательный факт (открытый Н. Г. Абелем, 1802 - 1829).
Лемма Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при каждом x, у которого
| x | < | x0 |. (6)
В самом деле, так как общий член сходящегося ряда
![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010752.JPG) ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds020752.JPG) ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds030752.JPG)
стремится к нулю с возрастанием своего номера, то
![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010753.JPG) ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds020753.JPG)
Но если какая-нибудь последовательность имеет предел, то множество членов этой последовательности ограничено. Поэтому существует такое число M, что
![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010754.JPG) ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds020754.JPG) (7)
Заметив это, рассмотрим ряд (1) при значении x, удовлетворяющем неравенству (6). Этот ряд можно переписать так:
![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010755.JPG) ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds020755.JPG) ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds030755.JPG) (8)
решения некоторых задач
_____________________________________________________
* Если B - множество, не ограниченное сверху, то, как обычно, полагаем R = +∞.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-
|