Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Тензорное исчисление / Тензоры в евклидовом пространстве / 1 2


Тензоры в евклидовом пространстве


     Метрический тензор пространства

     Из аксиом евклидова пространства следует, что оно может быть определено как такое линейное пространство, в котором задана положительно-определенная квадратичная форма. Другими словами, евклидово пространство - это такое линейное пространство, в котором задан симметрический тензор gij типа , такой, что gijxixj > 0 для всех ненулевых векторов.

     Терзор gij называется фундаментальным метрическим тензором пространства. Если - базис пространства En, то . Числа xi = gikxk (свертка метрического тензора с вектором ) называются ковариантными координатами вектора в отличие от его контравариантных координат xi. Ковариантные координаты - это проекции вектора на базисные векторы, ибо . В ортонормированном базисе xi = xi.

     Компоненты матрицы gij, обратной матрице gij, образуют дважды контравариантный тензор, называемый контравариантным метрическим тензором. Справедливы формулы xj = gijxi.


     Поднятие и опускание индекса

     Переход от контравариантных координат вектора к его ковариантным координатам по формулам xi = gikxk называют опусканием индекса, а переход от ковариантных координат к контравариантным по формулам xj = gijxi - поднятием индекса.

     Операцию опускания или поднятия индекса в евклидовом пространстве применяют к тензорам любого строения. Например, .


     Длина вектора. Угол между векторами


-1-2-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, эллипсоид , размерность линейного пространства

     Тензоры в евклидовом пространстве, метрический тензор пространства, поднятие и опускание индекса, длина вектора и угол между векторами.