Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Подводя итог нашему исследованию, можем сформулировать его в виде следующей теоремы.

     Теорема. Всякому ряду (1) отвечает такое неотрицательное число* R, что ряд абсолютно сходится в открытом промежутке (-R, +R) и расходится вне замкнутого промежутка [-R, +R].

     К этой теореме надлежит сделать ряд добавочных замечаний:

     1) Смысл теоремы состоит в том, что множество тех значений x, при которых сходится степенной ряд (1), всегда есть некоторый промежуток, симметричный относительно точки x = 0. Этот промежуток называется промежутком сходимости ряда.

     2) Промежуток сходимости может вырождаться в точку x = 0, что имеет место при R = 0. Возможны также ряды (когда R = +∞), у которых промежутком сходимости служит вся числовая ось.

     3) В теореме совершенно ничего не говорится о том, как ведет себя ряд на концах промежутка сходимости, т. е. в точках x = -R, x = +R. Как увидим далее, различные ряды в этих точках ведут себя по-разному, и потому никаких общих утверждений по этому поводу высказать нельзя.

     4) Мы уже говорили, что ряд вида (2), т. е. расположенный по степеням x - a, приводится к виду (1) подстановкой x - a = x'. Поэтому все сказанное выше переносится и на ряды (2). Промежуток сходимости такого ряда будет симметричен относительно точки x = a и будет иметь концами точки a - R и a + R.

     Свойства суммы степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд

c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ...,     (9)

радиус сходимости R которого отличен от нуля (случай R = +∞ мы не исключаем). Сумма этого ряда будет функцией аргумента x, определенной во всех точках промежутка сходимости. Обозначим эту функцию через f(x) и займемся изучением ее свойств.

     Теорема 1. Функция f(x) непрерывна во всех точках, лежащих внутри промежутка сходимости ряда.

     Подчеркнем, что, говоря о точках, лежащих внутри промежутка сходимости, мы исключаем его концы ±R, хотя ряд может сходиться и в этих точках. (Можно доказать, что в случае сходимости ряда в одной из точек ±R функция f(x) остается непрерывной в этой точке, но здесь останавливаться на этом не будем.)

     Переходя к доказательству, выберем какую-либо точку x0, лежащую внутри промежутка сходимости -R < x0 < R, и будем устанавливать непрерывность f(x) именно в этой точке. Для этой цели выберем и закрепим еще одну точку X, для которой выполняются неравенства

-X < x0 < X,     0 < X < R.


решения некоторых задач

   _____________________________________________________

*   Это число называется радиусом сходимости ряда.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, неравенство , косинус гиперболический

     Промежуток сходимости ряда, свойства суммы степенного ряда. Теорема: функция f(x) непрерывна во всех точках, лежащих внутри промежутка сходимости ряда.