Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     В частности*, для функций sin x, cos x, ex при всех действительных x справедливы разложения

     (67)

     (68)

     (69)

     Формулы (67) и (68) могут быть использованы для фактического вычисления sin x и cos x. Мы не будем уже останавливаться на этом вопросе, т. к. основные принципы здесь те же, что и при вычислении логарифмов или арктангенсов. Обратим внимание лишь на то обстоятельство, что, желая найти синус (или косинус) угла, заданного в градусах, надо сначала найти величину этого угла в радианах и именно эту величину подставлять вместо x в формулы (67) и (70).

     Остановимся в заключение еще на одном возможном применении формулы (63). Именно, если эта формула справедлива в некотором промежутке (a - r, a + r), то, как было установлено в пункте Свойства суммы степенного ряда, для всякого замкнутого промежутка [p, q], содержащегося в (a - r, a + r), будет

     (70)

     Так как все интегралы, находящиеся в правой части, вычисляются без труда, то формула (70) доставляет способ приближенного вычисления интеграла

не требующий нахождения первообразной функции для f(x) и пригодный даже в тех случаях, когда эта первообразная не выражается элементарно.

     Вычислим, например, интеграл**

с точностью до 0,0001. На основании формулы (67) имеем:

откуда

     Так как этот ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то, ограничиваясь выписанными членами, делаем ошибку Δ такую, что

Так как

то с учетом всех ошибок находим:

причем все выписанные знаки верны.


решения некоторых задач


   _____________________________________________________

*   Как было бегло упомянуто в пункте Промежуток сходимости

**   Здесь как раз не выражается через элементарные функции.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2018  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, подмножество , интегрирующий множитель

     Степенные ряды.