Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

решения некоторых задач

     Это показывает, что в точке z сходится (даже абсолютно) ряд (18) и поэтому

zR.     (20)

     Здесь z подчинено единственному условию 0 < z < R'. Значит, можно устремить в (20) z к R' и перейти к пределу.

     Таким образом,

R' ≤ R.     (21)

     Это неравенство, установленное нами для R' > 0, очевидным образом справедливо и при R' = 0.

     Установим теперь, что

RR'.     (22)

     При этом можно предполагать, что R > 0, т. к. иначе неравенство (22) очевидно. Пусть 0 < z < R. Покажем, что ряд (19) абсолютно сходится в этой точке. С этой целью возьмем еще одну точку y, удовлетворяющую неравенствам z < y < R. Ряд (18) в этой точке сходится и потому его общий член стремится к нулю. Тем более этот общий член ограничен. Значит, существует такое постоянное число M, что при всех натуральных n будет

| cnyn | < M.     (23)

Заметив это, перепишем ряд

| c1|z + 2| c2|z2 + 3| c3|z3 + ...     (24)

так:

     В силу (23) члены этого последнего ряда меньше, чем соответствующие члены ряда

Mq + 2Mq2 + 3Mq3 + ...,     (25)

где положено для краткости . По лемме 1 ряд (25) сходится, а потому сходится и ряд (24).

     Итак, действительно, ряд (19) сходится в точке z. Но тогда

zR',     

откуда, как и выше, переходя к пределу при z, стремящемся к R, и получаем равенство (22). Лемма доказана.

     Из этой леммы вытекает важное

     Следствие. Степенной ряд (9) и ряд

c1 + 2c2x + 3c3x2 + ...,     (26)

полученный из него почленным дифференцированием, имеют одинаковые радиусы* сходимости.

     В самом деле, ряд (9) имеет тот же радиус сходимости, что и его остаток (18). Тот же радиус по лемме имеет и ряд (19), который получается из (26) умножением всех членов на x. Остается показать, что (19) и (26) имеют равные радиусы сходимости. Но у них даже и промежутки сходимости одинаковы. Действительно, если ряд (26) сходится при каком-либо x, то, умножая его члены на x, мы не нарушим сходимости; если же ряд (26) при каком-либо x расходится, то очевидно x ≠ 0, а тогда, умножая члены ряда (26) на это x, мы не сможем придти к сходящемуся ряду.


решения некоторых задач


   _____________________________________________________

*   Не следует думать, что и промежутки сходимости этих рядов тождественны. Например, ряд имеет замкнутый промежуток сходимости [-1, +1], в то время как продифференцированный ряд в точке x = 1 расходится.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, система уравнений , котангенс двойного аргумента

     Степенной ряд c0 + c1*x + c2*x*x + c3*x*x*x + .... и ряд полученный из него почленным дифференцированием, имеют одинаковые радиусы сходимости.