Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Переходя к точному доказательству основной теоремы, рассмотрим две точки x и x + Δx из промежутка [a, b], на котором задана непрерывная функция f(t). Тогда
Отсюда, применяя теорему о среднем значении, находим
причем ξ лежит между x и x + Δx. В таком случае
Если Δx → 0, то точка ξ стремится к точке x. В силу непрерывности функции f(t) отсюда следует, что f(ξ) стремится к f(x). Поэтому
Теорема доказана. Из нее вытекает, в частности, что Примерами, иллюстрирующими доказанную теорему, могут служить следующие равенства:
В пункте мы сообщили без доказательства, что у всякой непрерывной на каком-нибудь промежутке функции существует на этом промежутке первообразная. Теперь это утверждение становится очевидным. Действительно, если f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то функция
служит для нее первообразной. Более того, имеем и геометрическое изображение этой первообразной на графике самой функции y = f(t) (см. Рис. 7.).
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27- |
есть функция непрерывная.
