Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

решения некоторых задач

     2) В каждом частичном промежутке [xk, xk+1] выберем по точке ξk и вычислим f(ξk).

     3) Умножим f(ξk) на длину (xk+1 - xk) соответствующего промежутка [xk, xk+1].

     4) Сложим все найденные произведения. Сумму

будем называть интегральной суммой.

     5) Будем изменять произведённое дробление [a, b] так, чтобы величина λ стремилась к нулю.

     Если при этом существует конечный предел

     (4)

не зависящий от выбора точек ξk, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается через

     Точный смысл соотношения (4) таков: всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0, что при любом способе дробления, у которого λ < δ, будет

| σ - I | < ε,

как бы при этом ни были выбраны точки .

     Предельное соотношение (4) имеет довольно своеобразный характер.

     Отдадим себе отчет в том, для каких функций введенное понятие оказывается достаточно естественным.

     Если у функции f(x) существует интеграл (в этом случае говорят, что f(x) интегрируема), то это означает, что суммы σ, отвечающие дроблениям с достаточно малым λ, будут близки к некоторому постоянному числу, как бы ни выбирать точки ξk. Поэтому, меняя точки ξk, не будем существенно изменять величины суммы σ. Но это возможно лишь за счет того, что изменение точек ξk не вызывает заметного изменения чисел f(ξk) (по крайней мере в большинстве слагаемых суммы σ). Для функций непрерывных указанное обстоятельство и в самом деле имеет место, т. к. точки ξk могут изменяться лишь в коротких промежутках [xk, xk+1], а у непрерывных функций близким значениям аргумента отвечают близкие же значения функции. Поэтому естественно ожидать, что у непрерывной функции определенный интеграл существует. Если же функция f(x) разрывна, то, вообще говоря, нет оснований ожидать у нее существования интеграла. Изложенные соображения подтверждаются следующей теоремой:


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многочлен , интеграл Фурье

     Определенный интеграл от функции, интегральная сумма.