Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

решения некоторых задач

     Пусть . Тогда новая верхняя сумма S' получается из старой суммы S заменой слагаемого

Mi(xi+1 - xi)     (6)

суммой двух слагаемых

     (7)

где и суть наибольшие значения f(x) в промежутках и . Все же остальные слагаемые в обеих суммах S и S' одинаковы. Так как промежутки и суть части промежутка [xi, xi+1], то, очевидно, . Но тогда

     Иначе говоря, сумма (7) не больше величины (6), а тогда S' ≤ S.

     Следствие. Каждая нижняя интегральная сумма не больше, чем каждая верхняя.

     В самом деле, выберем какие-либо два способа (I) и (II) дробления промежутка [a, b] и пусть s1 есть нижняя сумма, отвечающая способу (I), а S2 - верхняя сумма, отвечающая способу (II). Составим новый способ дробления (III), точками деления которого служат точки деления обоих способов (I) и (II), и пусть нижняя и верхняя суммы, отвечающие этому новому способу дробления, суть s3 и S3. Согласно лемме будет s1s3, S3S2. С другой стороны, очевидно, s3S3. Отсюда и вытекает, что

s1S2.

     Закрепим теперь какую-нибудь верхнюю сумму S0. Тогда для каждой нижней суммы s будет

sS0.

     Таким образом, множество нижних сумм {s}, отвечающих всевозможным способам дробления [a, b], ограничено сверху, и S0 - его верхняя граница. Обозначим через I точную верхнюю границу упомянутого множества

I = sup {s}.

     Тогда IS0, а так как S0 есть произвольная верхняя сумма, то постоянное число I оказывается удовлетворяющим неравенству

sIS,     (8)

в котором s и S суть совершенно произвольные нижняя и верхняя суммы.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, прогрессии , интеграл, как функция верхнего предела

     Определенные интегралы: каждая нижняя интегральная сумма не больше, чем каждая верхняя. Произвольная верхняя сумма.