решения некоторых задач

     Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

     (14)

     В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

     Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

     Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

     Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

     Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

     Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

     Теорема 6. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего^*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

     Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.

^*   Если в интеграле будет a ≤ b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования - нормальный.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-