Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

решения некоторых задач

     Приведем несколько примеров:

     1)

     2)

     3)

     Само собой разумеется, что все приемы, позволяющие вычислять неопределенные интегралы, применимы и тогда, когда речь идет о вычислении определенного интеграла. В частности, для вычисления определенного интеграла можно применять замену переменной и интегрирование по частям. Однако в применении к задаче вычисления определенного интеграла указанные два приема могут быть несколько специализированы.

     Теорема 1. Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ'(x) и удовлетворяющая неравенству pφ(x) ≤ q.

     В таком случае

     (22)

     Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.

     Переходя к доказательству теоремы, обозначим интегралы, входящие в левую и правую части формулы (22), соответственно через Iлев и Iправ.

     Пусть F(z) - функция первообразная для f(z). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница/p>

Iправ = F[φ(b)] - F[φ(a)].     (23)

Что же касается Iлев, то

Но согласно теореме будет

Значит,

Iлев = F[φ(b)] - F[φ(a)].

Отсюда и из (23) следует, что Iлев = Iправ.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, шар , единичный вектор нормали к поверхности

     Правило замены переменной в определенном интеграле.