Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Неопределенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

решения некоторых задач

     Интегрирование с помощью подстановки

     Чрезвычайно сильным методом приведения интеграла к табличной форме является метод подстановки или замены переменной. Он применяется в двух различных формах, каждая из которых основана на следующей теореме:

     Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ(x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствам pφ(x) ≤ q, то сложная функция F[φ(x)] будет первообразной для функции f[φ(x)]φ'(x).

     В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ(x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ(x). Тогда y = F(z), z = φ(x) и . Так как F'(z) = f(z), то , чем и доказана теорема.

     Доказанную теорему можно формулировать и так: если

то

Отсюда следует

     Первое правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

записывая его в форме

заменяем здесь φ(x) на z, вычисляем полученный интеграл и в найденном ответе производим обратную замену z на φ(x).

     Приведем несколько примеров:

     1)

     2)

     3)

Видим, что одна и та же табличная формула

позволяет находить бесчисленное множество разнообразных интегралов.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, планиметрия , интегральная формула Коши

     Интегрирование с помощью подстановки (интегрирование с помощью замены переменной), теорема. Первое правило подстановки, примеры.