Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Неопределенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

решения некоторых задач

     Второе правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

полагаем x = φ(t), где φ(t) - дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию ψ(x). Вычислив полученный интеграл, заменим в нем t через ψ(x), что и приводит к значению искомого интеграла I.

     Приведем два примера.

     Пример 1. Пусть . Положим x = sin t. Это приводит к интегралу

Значит,

     Пример 2. . Положим x = t2. Тогда

     Интегрирование по частям

     Другим довольно общим приемом преобразования интеграла является так называемое "интегрирование по частям".

     Пусть u = u(x) и v = v(x) суть две дифференцируемые функции, заданные на одном и том же промежутке [a, b]. Тогда на этом промежутке будет

(uv)' = u'v + uv'.

     Последнее равенство можно переписать в равносильной форме

     Отсюда, замечая, что u'dx = du,  v'dx = dv, получаем:

     (1)

причем произвольная постоянная, находившаяся в правой части, включена в интеграл . Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Она представляет собой некое тождественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно.

     Всматриваясь в строение формулы (1), замечаем, что для ее применения к какому-либо интегралу надо подинтегральное выражение представить в форме произведения u dv некоторой функции u на дифференциал другой функции dv. В результате же применения формулы (1) у нас появится интеграл от функции v, умноженной на дифференциал du. Иначе говоря, преобразование по формуле (1) состоит в интегрировании одного множителя dv и одновременном дифференцировании другого u. Вообще говоря, каждая из этих операций может привести к упрощению рассматриваемого интеграла, но чаще все же это упрощение достигается за счет дифференцирования множителя u. Поэтому некоторым указанием на целесообразность интегрирования по частям может служить наличие в составе подинтегральной функции такого множителя, который упрощается от дифференцирования. Этот множитель и следует принять за u, обозначив произведение остальных сомножителей подинтегрального выражения (включая dx!) через dv.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, арктангенс , борелевское множество

     Второе правило подстановки, вычисление неопределенных интегралов. Интегрирование по частям, формула интегрирования по частям (тождественное преобразование одного интеграла в другой)