Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

решения некоторых задач

     Теорема. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то интеграл

существует.

     Доказательство этой теоремы довольно сложно, и мы предпошлем ему некоторые вспомогательные соображения.

     Пусть на [a, b] задана непрерывная функция f(x). Разобъем [a, b] на части точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b

и обозначим через Mk и mk наибольшее и наименьшее значения f(x) на частичном промежутке [xk, xk+1]. Суммы

называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами (отвечающими выбранному способу дробления).

     Введение этих сумм вызвано тем обстоятельством, что они полностью определяются способом дробления [a, b], в то время как для определения суммы σ надо задать еще точки ξk.

     Легко видеть, что при выбранном способе дробления и при любом выборе точек ξk будет

sσS.     (5)

     Лемма. Пусть промежуток [a, b] раздроблен на части точками x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b, и составлены суммы S и s, отвечающие этому способу дробления. Если добавим новые точки дробления (сохраняя старые) и снова составим верхнюю и нижнюю суммы S' и s', то окажется

ss' ≤ S' ≤ S.

     Другими словами, от добавления новых точек деления нижняя интегральная сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

     Доказательство проведем лишь для верхних сумм. Очевидно, достаточно рассмотреть тот случай, когда вводится только одна новая точка деления , т. к. общий случай приводится к этому путем повторного введения по одной точке.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, прогрессия , интеграл Эйлера

     Теорема: если функция f(x) непрерывна на [a, b], то интеграл существует. Верхняя и нижняя интегральные суммы.