Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

решения некоторых задач

     Если вспомним, что при совпадении пределов интегрирования интеграл обращается в нуль, то сразу увидим, что

     Отсюда и из (19) вытекает, что

C0 = - F(a),

и потому

     В частности, при x = b находим:

     (20)

     Эта формула (называемая формулой Ньютона-Лейбница) сводит вопрос о вычислении определенного интеграла любой непрерывной функции к нахождению для нее первообразной функции. По существу этим перекинут мост между двумя частями математического анализа - дифференциальным исчислением (к которому, собственно, надо отнести и понятие первообразной функции) и интегральным исчислением, которое изучает в основном пределы интегральных сумм. К концу XVII в. оба эти исчисления были разработаны уже весьма обстоятельно, но то, что они связаны между собой, еще не было выяснено. Заслугой Ньютона и Лейбница является именно установление факта этой связи. Видим, что в основе ее лежит предложение, составляющее содержание теоремы, почему мы и назвали эту теорему основной теоремой математического анализа.

     Ввиду чрезвычайной важности установленного результата придадим ему форму следующего правила:

     Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

     При выводе этого правила и выражающей его формулы (20) мы считали, что a < b. Однако это не существенно. Действительно, при a = b формула (20) очевидна, т. к. обе ее части равны нулю. Случай же a > b приводится к случаю a < b переменой знака обеих частей формулы (20).

     Формулу (20) можно переписать иначе, если ввести очень удобное обозначение разности F(b) - F(a) символом

     При этом обозначении формула (20) принимает вид

     (21)

     Если заметить, что в качестве F(x) может быть использована любая первообразная F(x) + C, то формулу Ньютона-Лейбница можно будет записать и так:

     Это, пожалуй, наиболее выразительная ее запись.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, матан , дополнение множества

     Определенные интегралы: формула Ньютона-Лейбница. Правило для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции.