Решения задач и примеров по высшей математике

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

  • Координаты точки на плоскости. Расстояние между двумя точками.   задачи с решениями
  • Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника.   задачи с решениями
  • Различные виды уравнений прямой. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой по ее уравнению.   задачи с решениями
  • Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых.   задачи с решениями
  • Нормальное уравнение прямой. Расстояние от данной точки до данной прямой.   задачи с решениями
  • Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми. Задачи повышенной трудности.   задачи с решениями
  • Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах.   задачи с решениями
  • Составление уравнения прямой по ее геометрическим свойствам.   задачи с решениями
  • Кривые второго порядка: окружность, эллипс.   задачи с решениями
  • Кривые второго порядка: гипербола, парабола.   задачи с решениями
  • Преобразование прямоугольных координат. Параллельный перенос координатных осей без изменения их направления.   задачи с решениями
  • Преобразование координат поворотом координатных осей без изменения начала координат.   задачи с решениями
  • Упрощение общего уравнения кривой второго порядка.   задачи с решениями
  • Определители и системы линейных алгебраических уравнений.   задачи с решениями
  • Векторная алгебра.   задачи с решениями
  • Основные задачи на плоскость.   задачи с решениями
  • Основные задачи на прямую в пространстве.   задачи с решениями

Введение в анализ

  • Элементы теории множеств. Операции над множествами. Булева алгебра. Принцип двойственности. Алгебра множеств.   задачи с решениями
  • Функция, отображение. Образ и прообраз множества при заданном отображении. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения.   задачи с решениями
  • Действительные числа. Аксиомы поля и основные характеристики, расширенное множество действительных чисел. Бинарные отношения и бинарные операции. Метод математической индукции.   задачи с решениями
  • Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа.   задачи с решениями
  • Векторные и метрические пространства, евклидово пространство, окрестности.   задачи с решениями
  • Предел последовательности. Признаки существования предела, предел в несобственном смысле. Частичные пределы, верхний и нижний пределы. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве.   задачи с решениями
  • Предел функции. Предельная точка множества, ограниченность функции. Символы Ландау, эквивалентные функции, частичные пределы. Предел функции комплексной переменной.   задачи с решениями
  • Непрерывность функций. Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции. Основные свойства непрерывных функций.   задачи с решениями
  • Равномерная непрерывность функций, теорема Кантора.   задачи с решениями

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

  • Производная явной функции, правило вычисления производных, производная сложной функции. Таблица производных, производная степенно-показательной функции, производная от вектор-функции и матричной функции, производная от комплексной функции скалярного аргумента   задачи с решениями
  • Дифференциал функции, критерий дифференцируемости функции. Инвариантность формы первого дифференциала, формула малых приращений, правила дифференцирования функций   задачи с решениями
  • Производная обратной функции, производная параметрически заданной функции, производная неявно заданной функции   задачи с решениями
  • Производная второго порядка, производные n-го порядка от основных элементарных функций. Формула Лейбница. Производные n-го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций   задачи с решениями
  • Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши   задачи с решениями

Ряды

  • Ряды с постоянными членами. Положительные ряды. Признак Даламбера. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Сходимость рядов, умножение рядов   задачи с решениями
  • Степенные ряды. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов. Разложение арктангенса и вычисление π. Биномиальный ряд. Теоремы сложения и вычитания для синуса (косинуса)   задачи с решениями

Интегральное исчисление

  • Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование с помощью подстановки (замена переменной), интегрирование по частям   задачи с решениями
  • Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы. Теорема о среднем значении. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного. Приближенное вычисление определенных интегралов   задачи с решениями
  • Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования. Несобственный интеграл от разрывной функции   задачи с решениями
  • Приложения интегрального исчисления: вычисление площадей и объемов, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения   задачи с решениями
  • Двойные интегралы, сведение двойного интеграла к повторному однократному, тройные и n-кратные интегралы, замена переменных в n-кратном интеграле   задачи с решениями