Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Приложения интегрального исчисления / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

решения некоторых задач

     Поставим вопрос об объеме тела T. При этом речь здесь должна идти не только о вычислении объема, но прежде всего о логическом определении этого понятия*.

     Разобъем промежуток [a, b] точками x0 < a < x1 < x2 < ... < xn = b и проведем плоскости x = xk. Эти плоскости разрежут тело T на n тонких слоев.

     В простых случаях каждый такой слой можно приближенно принять за цилиндр с объемом

F(xk)(xk+1 - xk)

[мы считаем, что прямой цилиндр с основанием, имеющим площадь F, и высотой h имеет объем V = Fh]. Поэтому величину суммы

естественно считать приближенной мерой объема V тела T (причем в этот момент рассуждения у нас все еще нет точного определения этого понятия!). Но тогда опять-таки естественно принять (что мы и делаем) за самое определение объема V предел суммы σ при λ = max(xk+1 - xk) → 0. Доказывать это определение (как и всякое другое), конечно, не надо. Вместо этого надо подчеркнуть, что упомянутый предел для рассмотренного класса тел всегда существует, т. к σ есть интегральная сумма непрерывной функции F(x). Из этого же обстоятельства немедленно вытекает и формула

     (2)

позволяющая вычислять объем тела по площадям его поперечных сечений**.

     Рассмотрим несколько примеров.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-


   ___________________________________

*   Здесь понятие объема рассматривается лишь в связи с использованием интеграла (однократного) для вычисления объема и общего определения не дается.

**   Так как форма сечения T(x) оказалась несущественной, а объем выразился лишь через площадь этого сечения, то из (2) вытекает

     Принцип Кавальери для объемов. Если два тела I и II содержатся между двумя параллельными плоскостями P и Q и обладают тем свойством, что в сечении их любой плоскостью R, параллельной P и Q, получаются фигуры, имеющие одинаковую площадь, то объемы тел I и II равны.

     Ясно также, что в том случае, когда упомянутые площади находятся в некотором постоянном отношении (не зависящем от выбора плоскости R), то в том же отношении будут находиться и объемы тел.



© 2006- 2022  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многочлены , аксиома параллельности евклидовой геометрии

     Приложения интегрального исчисления.