решения некоторых задач

     Поставим вопрос об объеме тела T. При этом речь здесь должна идти не только о вычислении объема, но прежде всего о логическом определении этого понятия^*.

     Разобъем промежуток [a, b] точками x₀ < a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b и проведем плоскости x = x_k. Эти плоскости разрежут тело T на n тонких слоев.

     В простых случаях каждый такой слой можно приближенно принять за цилиндр с объемом

F(x_k)(x_k+1 - x_k)

[мы считаем, что прямой цилиндр с основанием, имеющим площадь F, и высотой h имеет объем V = Fh]. Поэтому величину суммы

естественно считать приближенной мерой объема V тела T (причем в этот момент рассуждения у нас все еще нет точного определения этого понятия!). Но тогда опять-таки естественно принять (что мы и делаем) за самое определение объема V предел суммы σ при λ = max(x_k+1 - x_k) → 0. Доказывать это определение (как и всякое другое), конечно, не надо. Вместо этого надо подчеркнуть, что упомянутый предел для рассмотренного класса тел всегда существует, т. к σ есть интегральная сумма непрерывной функции F(x). Из этого же обстоятельства немедленно вытекает и формула

     (2)

позволяющая вычислять объем тела по площадям его поперечных сечений^**.

     Рассмотрим несколько примеров.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   Здесь понятие объема рассматривается лишь в связи с использованием интеграла (однократного) для вычисления объема и общего определения не дается.

^**   Так как форма сечения T(x) оказалась несущественной, а объем выразился лишь через площадь этого сечения, то из (2) вытекает

     Принцип Кавальери для объемов. Если два тела I и II содержатся между двумя параллельными плоскостями P и Q и обладают тем свойством, что в сечении их любой плоскостью R, параллельной P и Q, получаются фигуры, имеющие одинаковую площадь, то объемы тел I и II равны.

     Ясно также, что в том случае, когда упомянутые площади находятся в некотором постоянном отношении (не зависящем от выбора плоскости R), то в том же отношении будут находиться и объемы тел.