решения некоторых задач

     Отметим одну интересную в методологическом отношении деталь. Очень часто предыдущие соображения показывают нам не только, как вычислить величину P, но и открывают путь для ее формального определения. По существу именно таким путем мы и шли, определяя понятие площади в пункте Вычисление площадей и понятие объема в пункте Вычисление объемов. Таким образом, интегральное исчисление не только дает возможность вычислять различные величины, но одновременно вооружает нас и неким общим методом конструирования определений этих величин.

     Соотношение (7) позволяет взглянуть на связь между функцией промежутка P([α, β]) и функцией точки p(x) еще и с другой стороны. Именно, из этого соотношения сразу вытекает, что

     (11)

     Нетрудно понять, что предельный переход, указываемый в формуле (11), является по существу операцией дифференцирования^*.

     Таким образом, если переход от функции точки p(x) к функции промежутка P([α, β]) производится при помощи интегрирования по формуле (9), то обратный переход осуществляется при помощи дифференцирования по формуле (11). Здесь взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования выступает весьма наглядно и притом в очень общей форме.

     Характеристика какого-либо явления при помощи функции точки представляет собой локальную характеристику этого явления, то есть характеристику в малом, а характеристика при помощи функции промежутка - характеристику в целом, интегральную характеристику. Поэтому можем формулировать задачу интегрирования, как задачу установления свойств явления в целом на основании его локальных свойств, а задачу дифференцирования, - как задачу локальной характеристики явления на основании его свойств в целом. Такое взаимоотношение между задачами интегрирования и дифференцирования сохраняется и при самых разнообразных их обобщениях.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   Действительно, полагая F(x) = P([a, x]), мы сможем соотношение

P([a, x + Δx]) = P([a, x]) + P([x, x + Δx]),

справедливое в силу аддитивности величины P, записать в форме

P([x, x + Δx]) = F(x + Δx) - F(x).

Отсюда и из (11) следует, что p(x) = F'(x).