Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Простейшие свойства рядов

     Теорема 1. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить в конечные группы и составить ряд из сумм этих групп, то он будет сходиться и иметь сумму, равную сумме первоначального ряда.

     Иначе говоря, если

a1 + a2 + a3 + ... = S     (11)

и n1 < n2 < n3 < ..., то

     (12)

     В самом деле, если Sn и суть соответственно частичные суммы рядов (11) и (12), то, как легко видеть,

Это означает, что последовательность является частичной по отношению к последовательности S1, S2, S3, ... Так как последняя сходится к S, то это верно и относительно последовательности .

     Доказанную теорему можно коротко формулировать так: члены сходящегося ряда можно заключать в скобки. Еще иначе можно сказать, что сходящиеся ряды обладают "сочетательным свойством".

     Интересно отметить, что из сходимости ряда (12) не вытекает сходимость ряда (11). Это видно хотя бы из следующего примера: хотя ряд

[1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + ...

сходится, но ряд

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ...

расходится. Таким образом, "раскрывать скобки" можно не всегда.

     Теорема 2. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то вновь полученный ряд будет сходиться, и его сумма будет равна сумме первоначального ряда, умноженной на то же число.

     Иначе говоря, если

a1 + a2 + a3 + ... = S,     (13)

то

ca1 + ca2 + ca3 + ... = cS.     (14)

     Для доказательства вводим частичные суммы Sn и рядов (13) и (14). Из соотношений

вытекает, что , чем и доказана теорема.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, мощность , произведение тензоров

     Простейшие свойства рядов, теоремы и доказательства.