Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Таким образом, множество частичных сумм положительного ряда (47) ограничено сверху, и этот ряд сходится. Значит, мы доказали, что сходимость положительного ряда от перестановки его членов не нарушается. Чтобы установить неизменность суммы ряда, обозначим сумму ряда (47) через S*. Тогда, переходя к пределу в неравенстве (48), мы найдем

S*S.

     Это значит, что сумма сходящегося положительного ряда при перестановке его членов не увеличивается. Но тогда уже ясно, что она и не уменьшается, т. к. иначе обратная перестановка приводила бы к увеличению суммы ряда. Теорема доказана.

     Эта теорема обобщается на любые абсолютно сходящиеся ряды.

     Теорема 2. От перестановки членов абсолютно сходящегося ряда его абсолютная сходимость не нарушается и сумма не меняется.

     Абсолютная сходимость ряда

a1 + a2 + a3 + ...     (49)

означает сходимость положительного ряда

|a1| + |a2| + |a3| + ...     (50)

     Пусть в результате перестановки своих членов ряд (49) превратится в ряд

     (51)

     Ясно, что ряд абсолютных величин членов ряда (51) получается некоторой перестановкой из ряда (50). Значит, этот ряд абсолютных величин сходится (по предыдущей теореме), а это и означает, что ряд (51) абсолютно сходится.

     Введем, далее, ряды

b1 + b2 + b3 + ...,     (52)

c1 + c2 + c3 + ...,     (53)

состоящие из неотрицательных и модулей отрицательных членов ряда (49). Эти ряды сходятся, и их суммы B иC связаны с суммой A ряда (49) формулой

A = B - C.     (54)

     Когда производим перестановку членов в ряде (49), то это вызывает соответствующие перестановки в рядах (52) и (53), т. к. в этих рядах порядок членов такой же, как и в (49). Но так как ряды (52) и (53) - положительные, то их суммы B и C от перестановки не меняются. С другой стороны, сумма ряда (51) должна выражаться через суммы рядов, полученных упомянутыми перестановками из (52) и (53), той же формулой (54). Отсюда и видно, что сумма ряда (51) равна сумме ряда (49).


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, куб , произведение гиперболических косинусов

     Теорема: от перестановки членов абсолютно сходящегося ряда его абсолютная сходимость не нарушается и сумма не меняется.