Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ряд называется мажорантным по отношению к первому.

     Иначе говоря, ряд

b1 + b2 + b3 + ...

является мажорантным по отношению к ряду

a1 + a2 + a3 + ...,

если при всех n будет

anbn.

     Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает

     Теорема 2. Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.

     Рассмотрим, например, ряд

     (27)

предполагая α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

     Исследование сходимости какого-либо ряда при помощи теоремы 2 наталкивается на необходимость нахождения другого ряда, поведение которого в отношении его сходимости нам известно и с которым мы хотим сравнить наш исходный ряд. Нахождение такого "ряда сравнения" в значительной степени зависит от проницательности исследователя, и в этом существенный недостаток признака сравнения. Существуют признаки сходимости, носящие гораздо более алгорифмический характер. Остановимся только на одном из таких признаков - на признаке Даламбера.

     Лемма 1. Если строго положительный ряд

a1 + a2 + a3 + ...     (28)

таков, что при всех n оказывается

то этот ряд расходится.

     В самом деле, здесь an+1 > an, т. е. общий член ряда возрастает с увеличением своего номера и не может стремиться к нулю. Иначе говоря, не выполнено необходимое условие сходимости ряда.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, степени , производные функции, заданной параметрически

     Мажорантный ряд. Теорема: Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.