Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Теорема 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать.

     Более подробно эта теорема может быть сформулирована так: если

a1 + a2 + a3 + ... = A,     (15)

b1 + b2 + b3 + ... = B,     (16)

то

(a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ... = A + B.     (17)

     Для доказательства теоремы обозначим соответственно через An, Bn и Sn частичные суммы рядов (15), (16) и (17). Тогда

Sn = An + Bn, AnA, BnB,

откуда следует, что SnA + B.

     Введем важное понятие остатка ряда. Именно, если

a1 + a2 + a3 + a4 + ...     (18)

есть некоторый ряд, а m - какое-нибудь натуральное число, то остатком ряда (8) после m-го члена называется ряд

am+1 + am+2 + am+3 + ...     (19)

     Теорема 4. Сам ряд и его остаток сходятся или расходятся одновременно.

     В самом деле, пусть частичные суммы рядов (18) и (19) суть соответственно Sn и . Тогда при n > m

     (20)

     Допустим, что остаток (19) сходится и его сумма равна Rm. Тогда при стремлении n к бесконечности будет

откуда следует, что SnSm + Rm. Иначе говоря, ряд (18) также сходится, и его сумма есть

S = Sm + Rm.     (21)

     Обратно, если сходится ряд (18) и сумма его равна S, то из того же соотношения (20) вытекает, что

чем и доказана сходимость ряда (19).


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, группа , произведение элементов группы

     Теорема: сходящиеся ряды можно почленно складывать. Остаток ряда. Теорема: сам ряд и его остаток сходятся или расходятся одновременно