Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Приведем несколько примеров, разъясняющих введенные определения. Пример 1. Рассмотрим ряд 0 + 0 + 0 + 0 + ... (4) Здесь Sn = 0, а потому и Пример 2. Рассмотрим ряд 1 + 1 + 1 + 1 + ... (5) Здесь Sn = n, поэтому Пример 3. Рассмотрим ряд 1 + (-1) + 1 + (-1) + ... (6) Здесь Sn = 1, если n - нечетное, и Sn = 0, если n - число четное. Значит, ряд (6) расходится. Этот пример показывает, что нельзя приписывать чрезмерно большое значение аналитическим аппаратам, считая, что если написано некоторое аналитическое выражение, то оно обязательно должно иметь какой-то смысл, и вопрос состоит лишь в том, чтобы доискаться этого смысла. Нет надобности говорить, что последняя коцепция неправильна*, и педагогически полезны примеры, опровергающие ее. Ряд (6) хорошо приспособлен для этой цели. Один математик XVIII в. по поводу этого ряда "рассуждал" так: пусть 1 + (-1) + 1 + (-1) + ... = S. (7) Тогда, объединяя члены попарно, получим S = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0. С другой стороны, S можно записать и так: S = 1 + [(-1)] + 1] + [(-1)] + 1] + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1. Отсюда "следует", что 0 = 1. Будучи мистиком, этот математик выводил далее из своего "открытия", что "ничто" (т. е. 0) - это то же самое, что "нечто" (т. е. 1), а потому ничего абсурдного в том, что бог создал мир из ничего, якобы нет. Приведенные "рассуждения", конечно, лишены какого бы то ни было научного значения, но они характерны как образец той "фетишизации аппарата", о которой говорилось выше. ясно, что причиной нелепого заключения, что 0 = 1, является пренебрежение вопросом о сходимости рассматриваемого ряда. Начиная с первой четверти XIX в., учение о рядах было поставлено на твердую почву, благодаря введению точных определений, и все подобные недоразумения отпали. _____________________________________________________ * Хотя иногда она дает толчок к весьма ценным открытиям (например, мнимые числа, операционное исчисление). Иными словами, эта коцепция, будучи логически несостоятельной, представляет полезное эвристическое средство. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23- |
, т. е. ряд (4) сходится и сумма его равна нулю.
и ряд расходится.