Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





привода в гараж выбираем тут
     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Приведем несколько примеров, разъясняющих введенные определения.

     Пример 1. Рассмотрим ряд

0 + 0 + 0 + 0 + ...     (4)

     Здесь Sn = 0, а потому и , т. е. ряд (4) сходится и сумма его равна нулю.

     Пример 2. Рассмотрим ряд

1 + 1 + 1 + 1 + ...     (5)

     Здесь Sn = n, поэтому и ряд расходится.

     Пример 3. Рассмотрим ряд

1 + (-1) + 1 + (-1) + ...     (6)

     Здесь Sn = 1, если n - нечетное, и Sn = 0, если n - число четное. Значит, ряд (6) расходится.

     Этот пример показывает, что нельзя приписывать чрезмерно большое значение аналитическим аппаратам, считая, что если написано некоторое аналитическое выражение, то оно обязательно должно иметь какой-то смысл, и вопрос состоит лишь в том, чтобы доискаться этого смысла. Нет надобности говорить, что последняя коцепция неправильна*, и педагогически полезны примеры, опровергающие ее. Ряд (6) хорошо приспособлен для этой цели. Один математик XVIII в. по поводу этого ряда "рассуждал" так: пусть

1 + (-1) + 1 + (-1) + ... = S.     (7)

Тогда, объединяя члены попарно, получим

S = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

     С другой стороны, S можно записать и так:

S = 1 + [(-1)] + 1] + [(-1)] + 1] + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1.

     Отсюда "следует", что 0 = 1. Будучи мистиком, этот математик выводил далее из своего "открытия", что "ничто" (т. е. 0) - это то же самое, что "нечто" (т. е. 1), а потому ничего абсурдного в том, что бог создал мир из ничего, якобы нет.

     Приведенные "рассуждения", конечно, лишены какого бы то ни было научного значения, но они характерны как образец той "фетишизации аппарата", о которой говорилось выше. ясно, что причиной нелепого заключения, что 0 = 1, является пренебрежение вопросом о сходимости рассматриваемого ряда. Начиная с первой четверти XIX в., учение о рядах было поставлено на твердую почву, благодаря введению точных определений, и все подобные недоразумения отпали.


решения некоторых задач

   _____________________________________________________

*   Хотя иногда она дает толчок к весьма ценным открытиям (например, мнимые числа, операционное исчисление). Иными словами, эта коцепция, будучи логически несостоятельной, представляет полезное эвристическое средство.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, квадрат , произведение гиперболических синусов

     Ряды с постоянными членами, разобранные решения задач.