Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Пример 2. Для ряда

     (33)

будет

Поэтому признак Даламбера не дает возможности ответить на вопрос о сходимости ряда (33). Мы уже знаем, что этот ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Таким образом, бывают и сходящиеся и расходящиеся ряды, у которых l = 1.

     Пример 3. Исследовать, для каких x (x > 0) сходится ряд

     Здесь

Следовательно, ряд сходится для x < 1 и расходится для x > 1. При x = 1 признак Даламбера ответа не дает, но непосредственно ясно, что ряд сходится.

     Помимо признака Даламбера, являющегося простейшим, существует большое число и других признаков сходимости положительных рядов: признак Коши, признак Раабе, интегральный признак и др. Очень общий признак был предложен известным русским математиком, профессором Киевского университета В. П. Ермаковым (1845-1922).

     В заключение докажем одно простое, но важное свойство положительных рядов, которое будет использовано далее.

     Теорема 4. Если в сходящемся положительном ряде вычеркнуть любое множество членов и составить ряд из оставшихся членов, оставляя их в том же порядке, что и в исходном ряде, то вновь полученный ряд также будет сходиться.

     Действительно, пусть положительный ряд

a1 + a2 + a3 + a4 + ...     (34)

сходится и имеет сумму S.

     Рассмотрим последовательность натуральных чисел

n1 < n2 < n3 < ...

и образуем ряд

     (35)

Теорема утверждает, что ряд (35) сходится. Чтобы доказать это, обозначим через Sn и частичные суммы рядов (34) и (35):

     Легко видеть, что

Отсюда следует, что , а потому ряд (35) сходится.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многочлен , простейшие интегралы

     Теорема: если в сходящемся положительном ряде вычеркнуть любое множество членов и составить ряд из оставшихся членов, оставляя их в том же порядке, что и в исходном ряде, то вновь полученный ряд также будет сходиться.