Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Первый из этих способов приводит к ряду

a1b1 + a1b2 + a2b1 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a1b4 + a2b5 + ...     (62)

     Объединяя члены ряда (62) в группы из одного, двух, трех и т. д. членов, приходим в точности к ряду (58).

     Рис. 2. приводит к ряду

a1b1 + a1b2 + a2b2 + a2b1 + a1b3 + a2b3 + a3b3 + a3b2 + ...     (63)

     Все ряды, получаемые расположением элементов матрицы (61) в форме последовательности, получаются друг из друга перестановками членов. Покажем, что все эти ряды сходятся абсолютно. Именно, возьмем какой-нибудь из этих рядов, составим ряд абсолютных величин членов взятого ряда и обозначим через частичную сумму этого ряда абсолютных величин. Если n закреплено, а m достаточно велико, то все слагаемые суммы будут содержаться среди чисел, заполняющих квадрат

Поэтому сумма будет не больше, чем сумма всех чисел, входящих в указанный квадрат, т. е. не больше, чем

(|a1| + |a2| + ... + |am|)(|b1| + |b2| + ... + |bm|).

     Если обозначить через A* и B* суммы рядов, составленных из абсолютных величин членов рядов (56) и (57), то из сказанного ясно, что

Отсюда и следует наше утверждение об абсолютной сходимости рядов, порождаемых матрицей (61).

     В частности, абсолютно сходится и ряд (62). Это означает, что сходится ряд

|a1b1| + |a1b2| + |a2b1| + |a1b3| + |a2b2| + |a3b1| + |a1b4| + ...     (64)

     Объединяя члены ряда (64) в группы из одного, двух, трех и т. д. членов, убеждаемся в сходимости ряда

d1 + d2 + d3 + ...,

где

dn = |a1bn| + |a2bn-1| + ... + |anb1|.

     Но ведь |cn| ≤ dn. Значит, ряд (58) и подавно абсолютно сходится. Остается доказать равенство (60).


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, множество , умножение вероятностей независимых событий

     Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать как конечные суммы, доказательство теоремы.