Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

решения некоторых задач

     Из доказательства теоремы видно, что сумма S2n стремится к своему пределу S возрастая. Таким образом, S2n есть значение S по недостатку. Напротив, S2n+1 есть значение S по избытку. Действительно, из равенств

                              S1 = a1,

                              S3 = a1 - (a2 - a3),

                              S5 = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5),

                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

видно, что S1 > S3 > S5 > ..., так что сумма S2n+1 стремится к S убывая.

     Последние два свойства знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, можно представить и в более наглядной форме. Именно, из того, что S2 < S < S1, следует, что

0 < S < a1.

     Значит, сумма нашего ряда имеет знак его первого члена, а по абсолютной величине меньше этого члена. Но ведь остаток ряда (36) после n-го члена

(-1)n[an+1 - an+2 + an+3 - ...]

сам тоже есть ряд такого же типа. Поэтому сумма Rn этого остатка имеет знак (-1)n и |Rn| < an+1. Если вспомнить, что

S = Sn + Rn,

то все сказанное можно будет резюмировать так: отбрасывая все члены ряда (36) после n-го и принимая частичную сумму

Sn = a1 - a2 + a3 - ... ± an

за сумму S, мы совершаем ошибку*, которая имеет тот же знак, что и первый отброшенный член (-1)nan+1, а по абсолютной величине меньше его.

     Это свойство рядов, удовлетворяющих условиям теоремы Лейбница, позволяет уверенно применять такие ряды в приближенных подсчетах.

     Пусть, например,

     Ограничиваясь выписанными членами для нахождения суммы этого ряда, мы сделаем отрицательную ошибку, по абсолютной величине меньшую, чем


решения некоторых задач

   _____________________________________________________

*   Называем ошибкой число, которое надо прибавить к Sn, чтобы получить S (т. е. Rn).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, корни , признак сравнения рядов

     Знакочередующиеся ряды, доказательство теоремы Лейбница.