решения некоторых задач

     Обозначи через S_n и частичные суммы рядов (44) и (45). Тогда, объединяя члены в группы по три, получим^*:

     Замечая, что

находим:

откуда

     Но это означает, что

и потому с возрастанием n стремится к .

     Так как

то и эти суммы стремятся к . Итак, ряд (45) имеет сумму , и эта сумма не равна сумме ряда (44) (т.к. S ≠ 0). Видим, что перестановка членов сходящегося ряда может изменить его сумму.

     Исследуем затронутый вопрос, ввиду его большого методологического интереса, подробнее. Оказывается, что для положительных рядов переместительный закон сохраняется.

     Теорема 1. От перестановки членов сходящегося положительного ряда сходимость его не нарушается, а сумма не меняется.

     В самом деле, пусть положительный ряд

a₁ + a₂ + a₃ + ...     (46)

сходится. Обозначим его сумму через S. Образуем новый ряд

     (47)

состоящий из тех же членов, что и (44), но расположенных в другом порядке. Пусть частичные суммы рядов (46) и (47) суть S_n и . Пусть m(k) есть наибольшее из чисел n₁, n₂, ..., n_k. Тогда все слагаемые суммы

будут входить в сумму

S_m(k) = a₁ + a₂ + ... + a_m(k),

где, однако, могут находиться еще и такие (положительные) слагаемые, которых нет в сумме . Отсюда следует, что

и тем более

     (48)

решения некоторых задач

^*   Состав k-й скобки таков: . Действительно, k-е нечетное натуральное число есть 2k - 1, а 2k-е четное есть 4k.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-