Функция, отображение, мощность

     Часто говорят, что функция есть переменная величина, зависящая от другой переменной величины (аргумента). В применении к обычным функциям, изучаемым в школе, как y = sin x, это определение вполне подходит и может применяться в преподавании. Наша задача состоит в более точном уяснении сущности этого понятия и получении современного его определения. Прежде всего, если взять функцию

y = sin²x + cos²x,

то ее значение уже не зависит от значения x. Далее, под величинами принято понимать такие объекты, которые можно сравнивать между собой, т. е. такие, между которыми существуют отношения больше и меньше. Между тем в математике рассматриваются также и функции, для которых эти отношения не установлены, как, например, в случае комплексных чисел или вообще элементов некоторого множества. Внимательное рассмотрение показывает, что в понятии функции существенно не столько ее изменение с изменением аргумента, сколько сам закон соответствия, в силу которого по каждому значению аргумента однозначно определяется соответствующее ему значение функции. Так функцию

y = sin²x + cos²x

можно определить, просто сказав, что каждому действительному числу x она ставит в соответствие число 1. Соответствие есть закон, позволяющий для каждого элемента x некоторого множества X однозначно указать некоторый объект (соответствующий данному элементу). Эти слова лишь поясняют понятие соответствия, но не должны пониматься как его определение. Понятие соответствия, как и понятие множества, принимается за основное, не подлежащее определению. Тогда наиболее общее определение функции будет такое:

     Определение. Функцией, заданной (или определенной) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу которого любой элемент x множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x).

     Множество X называется областью определения функции, а множество Y - объектов, соответствующих всем элементам множества X, - областью значений функции.

-1-2-3-4-5-