Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Множества / Функция, отображение, мощность / 1 2 3 4 5


     Пример 8. Функция y = tg x устанавливает эквивалентность интервала

множеству всех действительных чисел.

     Пример 9. Считая соответствующими друг другу числа, стоящие одно под другим в следующих строках:

               1,       2,       3, ..., n     , ...,
               2,       4,       6, ..., 2n   , ...,
               1,       3,       5, ..., 2n-1, ...,
               10, 100, 1000, ..., 10n , ...,
               2,       3,       5, ..., pn    , ... (pn - n-е - простое число),

заключаем, что множества всех натуральных чисел, четных чисел, нечетных чисел, степеней 10, простых чисел все имеют одну и ту же мощность, хотя первая из них является собственным надмножеством остальных.

     Пример 10. Множество натуральных чисел равномощно множеству рациональных чисел. В самом деле, любое рациональное число, отличное от нуля, однозначно записывается в виде несократимой дроби , где принято q > 0 (т. е. знак отнесен к числителю).

     Из возможных записей для нуля: выберем одну: . Тогда запись вида однозначно определена для всех рациональных чисел (в частности, при q = 1 получатся все целые числа).

     Высотой числа назовем натуральное число |p| + q, где |p| - абсолютная величина p. Тогда все рациональные числа можно расположить в одну последовательность, располагая их в порядке возрастания высоты, а числа с одинаковой высотой - в порядке возрастания числителя. Таким образом, получим последовательность

     Так чисел данной высоты n - лишь конечное число [именно, не более 2(n - 1), т. к. числитель меняется от -(n - 1) до +(n - 1), исключая значение 0], то перед каждым данным числом в последовательности стоит лишь конечное число чисел. Поэтому, нумеруя числа последовательно по порядку натуральными числами, мы действительно занумеруем все рациональные числа, что и доказывает требуемую равномощность.


-1-2-3-4-5-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многоугольники , свойства логарифмов

     Равномощные множества, высота числа.