Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Множества / Функция, отображение, мощность / 1 2 3 4 5


     Соотношение равномощности обладает следующими тремя основными свойствами:

     1) рефлексивность: ;
     2) симметрия: если , то ;
     3) транзитивность: если и , то .

     Для доказательства, например, первого из них достаточно каждому элементу поставить в соответствие его же самого (тождественное отображение), что уже дает взаимно однозначное отображение множества X на себя. Остальные два свойства предлагается доказать самостоятельно.

     Мощность множества характеризует, так сказать, "количество" его элементов. Однако при этом может оказаться, что "часть равна целому", т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его собственным подмножеством.

     Пример 6. Функция y = 10x, где x - действительное число, устанавливает равномощность отрезка [0, 1] и в 10 раз более длинного отрезка [0, 10]. Таким образом, в смысле мощности "количество" точек обоих отрезков одинаково.

     Пример 7. Два любых отрезка [a, b] и [c, d], а также два любых интервала (a, b) и (c, d) равномощны.

     Для доказательства достаточно рассмотреть функцию

     Во-первых, каждому действительному числу x однозначно соответствует y, причем легко видеть, что и . Далее, пусть

, и x1 < x2.

Согласно определению отрезка и интервала a < b и c < d. Следовательно, . Поэтому y1 < y2. Итак, если (или a < x < b), то и (соответственно, c < y < d). Значит, точкам отрезка [a, b] соответствуют точки отрезка [c, d], причем различные точки переходят в различные же (и то же верно в случае интервалов). Наконец, обратное отображение

обладает теми же свойствами, откуда следует, что для каждого y из [c, d] найдется один (и даже только один) прообраз x из [a, b] (то же для интервалов). Этим доказано, что [a, b] ~ [c, d] (соответственно, (a, b) ~ (c, d)).


-1-2-3-4-5-



© 2006- 2021  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, гипербола , свойства корня

     Свойства соотношения равномощности, мощность множества.