Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Замена переменных в n-кратном интеграле / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

решения некоторых задач

     Сначала для каждого номера i, для которого отличен от нуля элемент ai(k+1), произведем последовательно пару преобразований (для тех i, для которых ai(k+1) = 0, соответствующую пару преобразований не производим). Суперпозиция всех указанных пар преобразований приводит последовательность (19) к виду

(a11x1 + ... + a1(k+1)xk+1, ..., ak1x1 + ... + ak(k+1)xk+1, xk+1, xk+2, ..., xn).     (21)

     Далее заметим, что поскольку минор (18) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель

     (22)

     Но тогда найдутся такие вещественные числа λ1, ..., λk, λk+1, что линейная комбинация строк определителя (22) с этими числами равна*

a(k+1)1, ..., a(k+1)k, a(k+1)(k+1).     (23)

     Это означает, что если для каждого номера j = 1, 2, ..., k+1, для которого λj ≠ 0, произведем последовательно пару преобразований (для тех j, для которых λj = 0, соответствующую пару преобразований не производим), то суперпозиция всех произведенных пар преобразований переведет последовательность (21) в (20). Тем самым индукция завершена, и лемма 3 доказана.

     . Лемма 4. Для произвольного линейного невырожденного преобразования (7) при условии существования интеграла, стоящего в левой части (9), справедлива формула замены переменных (9).

     Для доказательства леммы 4 достаточно заметить, что формула (9) справедлива для каждого из преобразований типа и Tij (лемма 2) и что произвольное линейное невырожденное преобразование (7) представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований типа и Tij (лемма 3), причем при суперпозиции линейных преобразований происходит перемножение соответствующих якобианов (лемма 1).

     Следствие из леммы 4. Если G - произвольная кубируемая область в пространстве En, T - произвольное невырожденное линейное преобразование, то n-мерный объем V(G) области G и n-мерный объем V(TG) образа TG этой области связаны равенством

V(TG) = |det T| · V(G).     (24)

     Для доказательства достаточно положить в равенстве (9) f ≡ 1, D = TG и учесть, что при этом T -1D = G.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   ___________________________________

*   Для доказательства этого достаточно добавить к матрице определителя (22) строку (23) и применить теорему о базисном миноре.



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, функции ,

     Для произвольного линейного невырожденного преобразования при условии существования интеграла справедлива формула замены переменных.