Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Замена переменных в n-кратном интеграле / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

решения некоторых задач

     Основной целью настоящего пункта и следующих двух пунктов является доказательство того, что для произвольного линейного невырожденного преобразования (7) справедлива формула замены переменной (4). В силу соотношения (8), достаточно доказать, что для любого линейного невырожденного преобразования y = Tx справедлива формула

     (9)

(при условии, что существует интеграл в левой части этой формулы).

     В настоящем пункте мы докажем, что формула (9) справедлива для двух специальных типов линейных преобразований: 1) линейного преобразования , заключающегося в том, что i-я координата умножается на вещественное число λ ≠ 0, а все остальные координаты не изменяются*, и 2) линейного преобразования Tij, заключающегося в том, что к i-й координате добавляется j-я координата, а все координаты, кроме i-й, не изменяются**.

     Лемма 2. Если функция f(y) интегрируема в области D, то для каждого из преобразований и Tij справедлива формула замены переменных (9).

     Доказательство леммы 2. Обозначим через R n-мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий область D, а через F - функцию, равную f в области D и равную нулю в R - D. Достаточно доказать, что для каждого из преобразований и Tij справедлива формула

     (10)

в которой символом T обозначено одно из преобразований или Tij.

     Элементарный подсчет показывает, что

     (11)

     Кроме того, очевидно, что если R - прямоугольный параллелепипед akykbk (k = 1, 2, ..., n), то представляет собой прямоугольный параллелепипед

akxkbk     при     ki,          (12)

а [Tij]-1R представляет собой заведомо кубируемую область

akxkbk     при     ki,     ai - xjxibi - xj.     (13)


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   ___________________________________

*   Символически это преобразование можно записать так: (x1, x2, ..., xn) → (x1, ..., xi-1, λxi, xi+1, ..., xn).
** Символически это преобразование можно записать так: (x1, x2, ..., xn) → (x1, ..., xi-1, xi + xj, xi+1, ..., xn).



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, мощность ,

     Для произвольного линейного невырожденного преобразования справедлива формула замены переменной, доказательство.