Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Замена переменных в n-кратном интеграле / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

решения некоторых задач

     В подробной записи формула (4) имеет следующий вид:

     (4')

     Теорема 1. Если преобразование (2) переводит область D' в D и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют в области D' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (3)*, то при условии существования интеграла (1) справедлива формула замены переменных (4').

     Доказательство теоремы 1 не является элементарным. Основная идея приводимого доказательства состоит в том, что сначала даем обоснование формулы (4) для случая, когда преобразование (2) является линейным, а затем сводим к этому случаю общее преобразование (2).

     Ради удобства, будем подразделять доказательство теоремы 1 на отдельные пункты.

     Доказательство теоремы 1.

     1°. Лемма 1. Если преобразование z = ψ(x) является суперпозицией (или, как обычно говорят, произведением) двух преобразований y = ψ1(x) и z = ψ2(x), то якобиан , взятый в любой точке , равен произведению якобианов и , взятых соответственно в точках и , где , т. е.

     (5)

     В подробной записи формула (5) выглядит так:

     (5')


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   ___________________________________

*   Заметим, что при выполнении условий теоремы 1 уравнения (2) можно разрешить относительно x1, x2, ..., xn, причем полученное на этом пути обратное преобразование x = ψ-1(y) будет иметь в области D непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан .



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, матан ,

     Замена переменных в n-кратном интеграле.