Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Замена переменных в n-кратном интеграле / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

решения некоторых задач

     Таким образом, в пределе при h → 0 получим из (35) неравенство

     (36)

     В проведенных рассуждениях можно поменять ролями области D и D' и вместо функции f(y) в области D рассмотреть функцию g(x) = f[ψ(x)] · | det Jψ(x)| в области D'. При этом, используя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, получим противоположное неравенство

     (37)

     Из (36) и (37) вытекает формула замены переменных (4). Лемма 7 доказана.

     . Остается завершить доказательство теоремы 1, т. е. избавиться от наложенного в лемме 7 дополнительного требования неотрицательности функции f(y).

     Пусть f(y) - совершенно произвольная интегрируемая по области D функция, число M - точная верхняя грань функции |f(y)| в области D*.

     В силу леммы 7 для каждой из неотрицательных функций f1(y) ≡ M и f2(y) = M - f(y) справедлива формула замены переменных (4).

     Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедливость формулы (4) и для разности f1(y) - f2(y) = f(y). Теорема 1 полностью доказана.

     Замечание 1. В условиях теоремы 1 можно допустить обращение в нуль якобиана (3) на некотором принадлежащем D' множестве точек S, имеющем n-мерный объем нуль. В самом деле, множество S лежит внутри элементарной фигуры C как угодно малой площади, причем, согласно доказанному выше, справедлива формула

     (38)

     Осуществляя в формуле (38) предельный переход по последовательности элементарных фигур {Ck}, n-мерный объем V(Ck) которых стремится к нулю, мы убедимся в справедливости формулы (4) и для рассматриваемого случая.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   ___________________________________

*   Напомним, что из интегрируемости f(y) в области D вытекает ограниченность f(y) в D и существование точных граней.



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многочлены ,

     Замена переменных в n-кратном интеграле.