Евклидовы пространства

1. Определение. Евклидовым пространством называется конечномерное вещественное линейное пространство L с симметричным положительно определенным скалярным произведением.

Будем писать (l, m) вместо g(l, m) и | l | вместо (l, l)^1/2; число | l | будем называть длиной вектора l.

Из результатов, доказанных в разделах Теоремы классификации и Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены, следует, что:

а) во всяком евклидовом пространстве есть ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1;

б) поэтому оно изометрично координатному евклидову пространству Rⁿ (n = dim L), в котором

Ключом ко многим свойствам евклидова пространства является многократно переоткрывавшееся неравенство Коши-Буняковского-Шварца:

2. Предложение. Для любых имеем

Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы l₁, l₂ линейно зависимы.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-