4. Следствие. Евклидова длина вектора | l | является нормой на L в смысле определения в п. 4, а функция d(l, m) = | l - m | - метрикой в смысле определения п. 1.

Доказательство. Остается проверить только, что | al | = | a | | l | для всех , но

5. Углы и расстояния. Пусть - ненулевые векторы. В силу предложения п. 2

Поэтому существует единственный угол , для которого

Он называется углом между векторами l₁, l₂. Поскольку скалярное произведение симметрично, это "неориентированный угол", чем и объясняется интервал его значений. В соответствии со школьной геометрией угол между ортогональными векторами равен . Можно систематически развивать евклидову геометрию на основе данных определений длины угла и убедиться, что в размерностях два и три она совпадает с классической.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-