11. Параллелепипед со сторонами {l₁, ..., l_n. Это множество . Покажем, что его объем равен , где G = ((l_i, l_j)) - матрица Грама сторон. В самом деле, если {l₁, ..., l_n линейно зависимы, то соответствующий параллелепипед лежит в подпространстве размерности < dim L и его n-мерный объем равен нулю по замечанию в п. 9. В то же время матрица G вырождена.

Поэтому остается разобрать случай, когда {l₁, ..., l_n линейно независимы. Пусть {e₁, ..., e_n - ортонормированный базис в L, а f - линейное отображение , переводящее e_i в l_i, i = 1, ..., n. Если A - матрица этого отображения в базисе {e_i:

(l₁, ..., l_n) = (e₁, ..., e_n)A,

то матрица Грама {l_i равна A^tA, так как матрица Грама {e_i единичная. Следовательно,

С другой стороны, | det A | = | det f |, и f переводит единичный куб в наш параллелепипед. В силу свойства г) из п. 9 объем параллелепипеда равен | det f |, что завершает доказательство.

12. n-мерный шар радиуса r. Это множество векторов

или, в ортогональных координатах,

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-