Свойства а), б) едва ли нуждаются в комментариях. Свойство в) является сильным обобщением формулы площади прямоугольника (произведение длин сторон) или объема прямого цилиндра (произведение площади основания на длину образующей). Заметим, что из свойства в) вытекает, что (m + n)-мерный объем ограниченного множества W в L, лежащего в подпространстве L₁ размерности m < m + n, равен нулю. Действительно, тогда и , наконец, volⁿ({0) = 0 при n > 0 в силу а) и в).

Смысл свойства г) менее очевиден. Оно является основным вкладом линейной алгебры в теорию евклидовых объемов и служит причиной появления якобианов в формализме многомерного интегрирования. Возможно, наиболее интуитивное объяснение его состоит в замечании, что оператор растяжения в раз вдоль одного из векторов ортогонального базиса должен умножать объемы на | a | в силу свойств а) и в). Но любой ненулевой вектор можно дополнить до ортогонального базиса, поэтому диагонализируемый оператор f с собственными значениями должен умножать объемы на | a₁ | ... | a_n | = | det f |. Наконец, изометрии должны сохранять объемы, и , как мы убедимся позже, любой оператор есть композиция диагонализируемого и изометрии.

Теперь, пользуясь этими аксиомами, приведем список объемов простейших и наиболее важных n-мерных фигур.

10. Единичный куб. Это множество , где {e₁, ..., e_n - некоторый ортонормированный базис L. Из свойств а) и в) из п. 9 сразу следует, что его объем равен единице.

Куб со стороной a > 0 получится, если разрешить t_i пробегать значения . Так как он является образом единичного куба относительно гомотетии - умножения на a, - его объем равен aⁿ.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-