n-мерный объем есть функция volⁿ, определенная на некоторых подмножествах n-мерного евклидова пространства L, называемых измеримыми, и принимающая неотрицательные вещественные значения или (на ограниченных измеримых множествах - только конечные значения). Совокупность измеримых множеств достаточно богата. Мы просто постулируем следующий список свойств volⁿ и измеримость фигурирующих в них множеств, не доказывая существование функции с такими свойствами и не указывая естественную область ее определения.

а) Функция volⁿ счетно аддитивна, т. е.

, если при

vol¹ (точка) = 0; vol¹ (отрезок) = длина отрезка. Отрезок в одномерном евклидовом пространстве есть множество векторов вида ; его длина есть | l₁ - l₂ |.

б) Если , то .

в) Если (ортогональная прямая сумма), dim L₁ = m, dim L₂ = n, , то для имеем

г) Если - произвольный линейный оператор, то

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-