Например, многомерная теорема Пифагора есть тривиальное следствие определений: если векторы l₁, ..., l_n попарно ортогональны, то

Обычная формула косинусов в геометрии плоскости, примененная к треугольнику со сторонами l₁, l₂, l₃, утверждает, что

где - угол между l₁ и l₂. В векторном варианте l₃ = l₁ - l₂, и эта формула превращается в тождество

в соответствии с нашим определением угла.

Пусть - два множества в евклидовом пространстве. Расстоянием между ними называется неотрицательное число

Рассмотрим частный случай: U = {l (один вектор), - линейное подпространство. В силу предложения п. 2 имеем и , где . Векторы суть ортогональные проекции l на соответственно.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-