Теоремы классификации

1. Основная цель этого параграфа - дать классификацию конечномерных ортогональных, эрмитовых и симплектических пространств с точностью до изометрии. Пусть (L, g) - такое пространство, - его подпространство. Ограничение g на L₀ является скалярным произведением на L₀. Назовем L₀ невырожденным, если ограничение g на L₀ невырождено, и изотропным, если ограничение g на L₀ равно нулю. Существенно, что если даже L невырождено, ограничения g на нетривиальные подпространства могут быть вырожденными или нулевыми. Например, в симплектическом случае вырождены все одномерные подпространства, а в ортогональном случае вырождены все одномерные подпространства, а в ортогональном пространстве R² с произведением x₁y₁ - x₂y₂ вырождено подпространство, натянутое на вектор (1, 1).

Ортогональным дополнением к подпространству называется множество

для всех

(не путать с введенным в разделе Линейные пространства и линейные отображения ортогональным дополнением к L₀, лежащим в L^*, здесь мы им пользоваться не будем). Легко видеть, что является линейным подпространством в L.

2. Предложение. Пусть (L, g) конечномерно.

а) Если подпространство невырождено, то .

б) Если оба подпространства L₀ и невырождены, то .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-