Перейдем теперь к проблеме единственности. Само по себе разложение в ортогональную прямую сумму, существование которого утверждается в теореме п. 3, далеко не единственно, кроме тривиальных случаев размерности 1 (или 2 в симплектическом случае). Над общими полями в случае ортогональной геометрии неоднозначно определяется также и набор инвариантов , который характеризует ограничения g на одномерные подпространства L_i. Точный ответ на вопрос о классификации ортогональных пространств существенно зависит от свойств основного поля, и для = Q, например, связан с такими довольно тонкими теоретико-числовыми фактами, как квадратичный закон взаимности. Поэтому в ортогональном случае ограничимся описанием результата для = R и C.

4. Инварианты пространств с метрикой. Пусть (L, g) - пространство со скалярным произведением. Положим n = dim L, r₀ = dim L₀, где L₀ - ядро формы g. Кроме того, введем два дополнительных инварианта, относящихся только к ортогональной для = R и эрмитовой геометриям: r₊ и r_-, числа положительных и отрицательных одномерных подпространств L_i в некотором ортогональном разложении L в прямую сумму, как в теореме п. 3.

Очевидно, и n = r₀ + r₊ + r_- для эрмитовой и ортогональной геометрии над R. Набор (r₀, r₊, r_-) называется сигнатурой пространства. При r₀ = 0 сигнатурой называют иногда также (r₊, r_-) или r₊ - r_- (считая n = r₊ + r_- известным).

Теперь можем сформулировать теорему единственности.

5. Теорема. а) Симплектические пространства над произвольным полем, а также ортогональные пространства над C с точностью до изометрии определяются двумя целыми числами n, r₀, т. е. размерностями пространства и ядра скалярного произведения.

б) Ортогональные пространства над R и эрмитовы пространства над C с точностью до изометрии определяются сигнатурой (r₀, r₊, r_-), которая не зависит от выбора ортогонального разложения (это утверждение называется теоремой инерции).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-