Доказательство. Проведем индукцию по размерности L. Случай dim L = 1 тривиален; пусть . Если g нулевая, доказывать нечего. Если g ненулевая, то в симплектическом случае имеется пара векторов с . Согласно п. 10, натянутое на них подпространство L₀ невырождено. По предложению п. 2 , и по индуктивному предположению можем далее разложить , как сформулировано в теореме. Это даст требуемое разложение L.

В ортогональном и эрмитовом случае покажем, что из нетривиальности g следует существование невырожденного одномерного подпространства L₀; проверив это, сможем положить и применить прежнее рассуждение, т. е. индукцию по размерности L.

В самом деле, допустим, что g(l, l) = 0 для всех , и покажем, что тогда . Действительно, для всех имеем

0 = g(l₁ + l₂, l₁ + l₂) = g(l₁, l₁) + 2g(l₁, l₂) + g(l₂, l₂) = 2g(l₁, l₂)

или

0 = g(l₁ + l₂, l₁ + l₂) = g(l₁, l₁) + 2Re g(l₁, l₂) + g(l₂, l₂) = 2Re g(l₁, l₂).

В ортогональном случае отсюда сразу следует, что g(l₁, l₂) = 0. В эрмитовом получаем лишь, что Re g(l₁, l₂) = 0, т. е. g(l₁, l₂) = ia, a R. Но если , то также

0 = Re g((ia) ^-1l₁, l₂) = Re(ia) ^-1g(l₁, l₂) = 1.

Получаем противоречие.

Это завершает доказательство.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-