Доказательство. а) Пусть (или ) - отображение, ассоциированное с g, как в предыдущем параграфе. Обозначим через его ограничение на (или ). Если L₀ невырождено, то Ker = 0: иначе в L₀ есть вектор, ортогональный ко всему L и тем более к L₀. Поэтому . Это означает, что когда l₀ пробегает L₀, линейные формы от второго аргумента из L или пробегают dim L₀-мерное пространство линейных форм на L или . Так как есть пересечение ядер этих форм, , т. е.

С другой стороны, из невырожденности L₀ следует, что , т. к. есть ядро органичения g на L₀. Поэтому сумма прямая; но ее размерность равна dim L, так что .

б) Из определений ясно, что . С другой стороны, если невырождены, то по предыдущему

Это завершает доказательство.

3. Теорема. Пусть (L, g) - конечномерное ортогональное (над полем характеристики ), эрмитово или симплектическое пространство. Тогда существует разложение L в прямую сумму попарно ортогональных подпространств:

одномерных в ортогональном и эрмитовом случае и одномерных вырожденных или двумерных невырожденных в симплектическом случае.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-